Question

【题目】已知函数．

（I）如果在处取得极值，求的值．

（II）求函数的单调区间．

（III）当时，过点存在函数曲线的切线，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（III）.

【解析】试题分析：（I）求导数，由解得k的值即为所求；（II）求得，分和两种情况讨论函数的单调区间；（III）先设出切点，并求出函数在该点处的切线为，将代入切线放长可得，由此可得t的范围即函数的 值域，求函数的值域可得所求。

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为．

∵，

∴，

∵函数在处取得极值，

∴，解得

当时， ，

∴当时， 单调递增；

当时， 单调递减，

∴函数在处取得极小值，符合题意．

∴

（Ⅱ）因为．

①当时， 恒成立，所以在上单调递减，

②当时，令，得，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增。

综上，当时， 的单调减区间为；

当时， 的单调减区间为，单调增区间为。

（III）当时， ，

设切点坐标为，则.

又，

所以切线方程为，

将代入上式得．

令，所以．

当时，解得．

所以当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减．

所以当时，函数有极大值，也为最大值，且，无最小值．

所以当时，存在切线．

故的取值范围为.