Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：平面PBQ⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四面体C-BQM的体积．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：四边形BCDQ为平行四边形．得到CD∥BQ．利用面面垂直的性质可得：BQ⊥平面PAD．进而得到平面平面PBQ⊥平面PAD．
（II）利用V_C-BQM=V_M-BCQ，且V_M-BCQ=$\frac{1}{2}{V}_{P-BCQ}$，即可得出．

解答 （I）证明：∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，Q为AD中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形．
∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即BQ⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
BQ?平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PBQ，
∴平面平面PBQ⊥平面PAD．
（II）解：∵V_C-BQM=V_M-BCQ，且V_M-BCQ=$\frac{1}{2}{V}_{P-BCQ}$，
由（I）可知：四边形BCDQ为矩形，∴S_△BCQ=$\frac{1}{2}BQ•BC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，在Rt△PDQ，PD²=PQ²+DQ²，PQ=$\sqrt{3}$，
∴V_P-BQM=$\frac{1}{2}{V}_{P-BCQ}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了梯形平行四边形与矩形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．