Question

13．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，以正方体的三条棱DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若点P在正方体的侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，则下列点P的坐标①（1，1，1），②（0，1，0），③（1，1，0），④（0，1，1），⑤（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$）中正确的是①②⑤．

Answer 1

分析 根据空间坐标系，表示出点的坐标，设P（m，1，n），且（0≤m，n≤1），根据向量垂直得到m=n，即可判断答案．

解答 解：由题意可知，A（1，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
设P（m，1，n），且（0≤m，n≤1）
∴$\overrightarrow{AP}$=（m-1，1，n），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
∵AP⊥BD₁，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=1-m-1+n=n-m=0，
即m=n，
∴①（1，1，1），②（0，1，0），⑤（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$）满足条件，
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算和向量垂直的条件，属于基础题．