Question

如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，P为AB的中点，DC⊥平面ABC，EB∥DC，DC=EB=2．
（1）求证：AD∥平面PCE；
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接BD交CE于点Q，连接PQ，可得PQ是△ABD的中位线，得PQ∥AD，结合线面平行判定定理可得AD∥平面PCE；
（2）过点P作PF⊥AE于F，再过点F作FG⊥EC于G，连接PG．根据线面垂直的判定与性质，可得PG⊥EC，得∠PGF就是二面角A-CE-P的平面角．Rt△PFG中，算出FG、PG的长，可得cos∠PGF=

GF

PG

=

17 793

793

，即二面角A-CE-P的余弦值．

解答：解：（1）连接BD交CE于点Q，连接PQ
∵EB∥DC，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，得Q为BD中点
由此可得△ABD中，PQ是中位线，可得PQ∥AD
∵PQ?平面PCE，AD?平面PCE，
∴AD∥平面PCE；…（6分）
（2）过点P作PF⊥AE于F，再过点F作FG⊥EC于G，连接PG
∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC，结合AC?平面ABC，得AC⊥EB
∵AC⊥AB，AB∩EB=B，∴AC⊥平面ABE
∵PF?平面ABE，∴AC⊥PF
∵AE⊥PF，AC∩AE=A，∴PF⊥平面ACE
∵FG⊥EC，FG是PG在平面ACE内的射影
∴PG⊥EC，得∠PGF就是二面角A-CE-P的平面角
∵Rt△ABE中，AB=3，BE=2，P为AB中点，且PF⊥AE
∴由△ABE∽△AFP，得PF=

3 13

13

同理：由△ACE∽△FGE，得GF=

17

2 182

∴Rt△PFG中，PG=

PF2+FG2

=

793

2 182

因此，cos∠PGF=

GF

PG

=

17 793

793

，即二面角A-CE-P的余弦值等于

17 793

793

．…（12分）

点评：本题在特殊多面体中，证明线面平行并且求二面角的余弦值，着重考查了直线与平面平行的判定，二面角的平面角的定义及求法等知识，属于中档题．