Question

（本小题共14分）

已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四

边形是边长为2的正方形.

（1）求椭圆的方程；

（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题共14分）

解：（Ⅰ）如图，由题意得，,，.

所求的椭圆方程为.             …………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（，0），（2，0）.                ………………………………………4分

由题意可设：，（，）.

，（2，）.      ……………5分

由 整理得:.

，    .           ………………………………………7分

，.           ………………………………………8分

.      ………………………………………9分

即为定值.

（Ⅲ）设，则.

若以为直径的圆恒过，的交点，则，恒成立.……10分

由（Ⅱ）可知，.      ………………………………12分

.即恒成立..

存在使得以为直径的圆恒过直线，的交点.  ……………………………14分