Question

（2011•重庆一模）已知函数f（x）=

x+a

x+1

（a为常数）．
（I）若a=0，解不等式f（x）＞2；
（II）解关于x的不等式f（x-1）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=0代入f（x），确定出解析式，把确定出的函数解析式代入不等式，移项通分后，在不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，转化为两数相乘积为负，根据两数相乘的取符号法则得到x+2与x+1异号，可得出此时不等式的解集，即为原不等式的解集；
（II）把函数解析式中的x化为x-1，确定出f（x-1），代入不等式中，并把两数相除转化为两数相乘的形式，由1-a与0的大小，分三种情况考虑：1-a大于0，根据不等式的取解集法则：大于大的，小于小的，得到原不等式的解集；当1-a=0时，显然x取不为0的实数，可得出原不等式的解集；当1-a小于0时，根据不等式的取解集法则：大于大的，小于小的，得到原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，即不等式化为

x

x+1

＞2，
整理得：

x

x+1

-2＞0，即

-(x+2)

x+1

＞0，
即

x+2

x+1

＜0，
等价于（x+2）（x+1）＜0，…（2分）
解得：-2＜x＜-1，
则f（x）＞2的解集为：{x|-2＜x＜-1}；…（5分）
（Ⅱ）f（x-1）=

x-1+a

x

＞0，即x（x-1+a）＞0，…（6分）
∴当1-a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：{x|x＞1-a或x＜0}；  …（8分）
当1-a=0，即a=1时，不等式的解集为：{x|x∈R且x≠0}；…（10分）
当1-a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：{x|x|x＞0或x＜1-a}．…（12分）

点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．