Question

8．小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，且A、B、C是否猜中互不影响．
（Ⅰ）求A恰好获得4元的概率；
（Ⅱ）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）由题意，X的可能取值为0，4，6，12，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望值．

解答 解：（1）A恰好获得4元的概率为$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$；…（2分）
（2）X的可能取值为0，4，6，12，
则P（X=4）=$\frac{1}{9}$，P（X=0）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=6）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，P（X=12）=$\frac{1}{3}$，…（5分）
所以X的分布列为：

X	0	4	6	12
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

数学期望为EX=0×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{1}{9}$+6×$\frac{1}{3}$+12×$\frac{1}{3}$=$\frac{58}{9}$．…（12分）

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．