Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点．
（Ⅰ）证明：PE⊥AF；
（Ⅱ）若BC=2BE=2 AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．设AP=AB=2，BE=a则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）
于是， ， ，
则 ，
所以AF⊥PE．
（Ⅱ）若 ，则 ， ，
=（2 ，2，﹣2），
设平面PDE的法向量为 =（x，y，z），
由 ，得： ，令x=1，则 ，
于是 ，而
设直线AP与平面PDE所成角为θ，
则sinθ= = ．
∴直线AP与平面PDE所成角为60°．

【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE，AF的坐标，得到其数量积为0即可证明结论．（Ⅱ）先根据条件求出D的坐标以及 ， 的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用向量语言表述线线的垂直、平行关系和用空间向量求直线间的夹角、距离的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即;则要证明，只需证明，即；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．