Question

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的外接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

Answer 1

本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。

（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知

，

解得，

所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。

设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为

 

解法二：设A、B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知

又因为，可得，即

。

由，可知x₁＝x₂，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，

设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为  。

（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则

 

在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得

 

所以，由此可得

故，最小值为-8