Question

（07年辽宁卷）（14分）

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

Answer 1

本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．

解析：（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知

．

解得，

所以，或，．

设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为

．

解法二：设两点坐标分别为，，由题设知

．

又因为，，可得．即

．

由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．

设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为．

（II）设，则

．

在中，，由圆的几何性质得

，，

所以，由此可得

．

则的最大值为，最小值为．