Question

（本小题满分14分）

已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（I）圆C的方程为

（II）的最大值为，最小值为

【解析】解法一:设A、B两点坐标分别为，由题设知

解得

所以

设圆心C的坐标为（r,0），则因此圆C的方程为

···················· 4分

解法二：设A、B两点坐标分别为由题设知

.

又因为即

由x₁＞0，x₂＞0，可知x₁=x₂，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.

设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为，于是有，解得r=4,所以圆C的方程为

···················· 4分

(Ⅱ)解：设∠ECF=2a,则

.·· 8分

在Rt△PCE中,.由圆的几何性质得

≤≥·· 10分

所以≤≤，由此可得

≤≤.

故的最大值为，最小值为.········· 14分