Question

20.已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是三角形的外接圆（点为圆心）

（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值.

Answer 1

（I）解法一：设A、B两点坐标分别为由题设知

解得

解得

所以A(6,2),B(6,-2)或A(6,-2),B(6,2).

设圆心C的坐标为（r,0）,则r=×6=4.因此圆C的方程为

(x-4)²+y²=16.                                                                                           

解法二：设A、B两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂),由题设知

x₁²+ y₁²= x₂²+ y₂²

又因为y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,可得x₁²+2x₁= x₂²+2x₂,即

（x₁- x ₂）(x ₁+ x ₂+2)=0.

由x₁＞0,x₂＞0,可知x₁=x₂,故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.

设C点的坐标为（r,0）,则A点坐标为，于是有,解得r=4,所以圆C的方程为

（x-4）²+y²=16.                                                                                       

（II）解：设∠ECF=2a,则

··cos2a=16 cos2a =32cos²a-16.                                 

在Rt△PCE中，cosa=由圆的几何性质得

|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6.                                              

所以，由此可得

-8≤≤.

故的最大值为，最小值为-8.