Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为边长是2的方形, ， 分别是， 的中点， ， ，且二面角的大小为.

（1）求证： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）.

【解析】试题分析：（1）作于点连接，可证， ，又，

∴平面，即可证明；

（2）以点为原点， , , 所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

利用空间向量可求二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：作于点连接，

∵， ， ，

∴，∴，

即， ，又，

∴平面，又平面，

∴.

（2）∵平面平面，平面平面，

，∴平面.

以点为原点， , , 所在直线为轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

∵,

∴.

∴，即.

∴， ， ， .

∴,，

设平面的法向量，

由，得

令，得

易知为平面的一个法向量.

设二面角为， 为锐角

则.