Question

【题目】如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知， ，过底面对角线作与平行的平面交于.

（1）试判定点的位置，并加以证明；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 为的中点，见解析(2)

【解析】试题分析：（1）由平面得到，结合为的中点，即可得到答案；

（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

试题解析：

（1）为的中点，证明如下：

连接，因为平面，平面平面， 平面，所以，又为的中点，所以为的中点.

（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点， 为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.

易知， ， ， ， ， ，

则， .

显然， 是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，

则，即，取，

则，

所以 ，

所以二面角的余弦值为.