Question

【题目】已知函数，，．

（1）若且，求函数的最小值；

（2）若对于任意恒成立，求a的取值范围；

（3）若，求函数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先将函数化简，然后利用基本不等式求解出的最小值；

（2）先根据进行简单化简，然后将绝对值不等式平方，根据一次函数在给定区间上恒大于零列出不等式组，求解出的范围；

（3）因为是增函数，因此只需要考虑与的大小关系即可，对采用分类讨论的方法，即可求解出.

（1）因为且时，，

所以，取等号时，

所以的最小值为；

（2）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，

所以即对任意恒成立，

所以，解得：，

所以；

（3），

图象分别是以和为顶点的开口向上的型线，且两条射线的斜率为，

当时，即，所以，此时令，所以，

若，，此时恒成立，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

若，，令，即，所以，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

当时，即，所以，此时令，所以，

若时，，令，即，所以，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

若时，，此时恒成立，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

当时，则，所以，所以恒成立，

令，即，所以，当时，，

若时，则，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

若时，则，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

若，则，

所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：

综上所述：的最小值为.