Question

已知函数：f(x)=

a

3

x3+(a+3)x+1．
（1）当a=-3时，求过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间；
（3）函数是否存在极值？若有，则求出极值点；若没有，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=-3时，f（x）=-x³+1，对函数求导，由导数的几何意义可得，曲线在（1，0）处的切线的斜率k=f′（1），可求切线方程
（2）对函数求导可得，f′（x）=ax²+（a+3），结合a的范围可确定导数的符号，进而可判断函数的单调区间
（3）由（2）可求函极小值，极大值的存在情况

解答：解：（1）当a=-3时，f（x）=-x³+1
对函数求导可得，f′（x）=-3x²
由导数的几何意义可得，曲线在（1，0）处的切线的斜率k=f′（1）=-3
∴过点（1，0）曲线y=f（x）的切线方程为y=-3（x-1）即3x+y-3=0
（2）对函数求导可得，f′（x）=ax²+（a+3），
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）单调递增
②当a≤-3时，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
③当-3＜a＜0，由f′（x）＞0，可得-

a+3 -a

＜x＜

a+3 a

，即f（x）在（-

a+3 -a

，+

a+3 -a

）单调递增；
f′（x）≤0，f（x）在（-∞，-

a+3 -a

]，[

a+3 -a

+∞）单调递减
（3）由（2）得，当-3＜a＜0，函数在x=-

a+3 -a

存在极小值，在x=

a+3 -a

存在极大值

点评：本题主要考查了导数的集合意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的极大与极小值的求解中的应用