Question

【题目】在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，，

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得，；又由条件可得到，于是平面，可得，从而得到平面，根据面面垂直的判定定理得平面平面．（2）由题意得可得，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，结合题意可得点，于是可求得平面的法向量为，又是平面的一个法向量，求得后结合图形可得所求余弦值为．

详解：（1）由，，，得，

∴为直角三角形，且

同理为直角三角形，且．

又四边形是正方形，

∴．

又

∴.

在梯形中，过点作作于，

故四边形是正方形，

∴.

在中，，

∴，，

∴，

∴，

∴.

∵，,，

∴平面,

又平面，

∴，

又，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（2）由（1）可得，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则.

令，则，

∵，

∴

∴点.

∵平面，

∴是平面的一个法向量.

设平面的法向量为.

则，即，可得.

令，得．

∴．

由图形知二面角为锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为．