题目内容
【题目】已知数列{an}和{bn}满足，a1＝2，b1＝1，且对任意正整数n恒满足2an+1＝4an+2bn+1，2bn+1＝2an+4bn﹣1.
（1）求证：{an+bn}为等比数列，{an﹣bn}为等差列；
（2）求证
（n＞1）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）
，
．两式相加相减分别可得：
，
．又
，
，化简即可证明结论．
（2）由（1）可得：
．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论．
证明：（1），．
两式相加相减分别可得：，．
，
．
又，，
为等比数列，首项为3，公比为3．
为等差列，首项为1，公差为1．
（2）由（1）可得：．
利用数学归纳法先证明：
．
时，
，成立．
假设
时成立，即
．
时，
，
因此左边不等式成立．
利用数学归纳法先证明：
．
时，
，成立．
假设时，
．
则时，
，
右边不等式成立．
综上可得：
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