Question

设函数f(x)＝x²－mlnx，g(x)＝x²－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)(2)

试题分析：(1) 可将问题转化为 时， 恒成立问题。令，先求导，导数大于0得原函数的增区间，导数小于0得原函数的减区间，根据单调性可求最小值。只需 即可。(2)可将问题转化为方程,在上恰有两个相异实根，令。同(1)一样用导数求函数的单调性然后再求其极值和端点处函数值。比较极值和端点处函数值得大小，画函数草图由数形结合分析可知直线应与函数的图像有2个交点。从而可列出关于的方程。
试题解析：
解：(1)由，可得             1分
，即，记，
则在上恒成立等价于.       3分
求得
当时, ;
当时, .
故在处取得极小值，也是最小值，即，故.
所以，实数的取值范围为                  5分
(2)函数在上恰有两个不同的零点
等价于方程,在上恰有两个相异实根．       6分
令，则.
当时，；
当时，，
∴在上是单调递减函数，在上是单调递增            8分
函数．故，
又，，
∵，∴只需，
故a的取值范围是．                    10分