Question

【题目】已知函数

(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；

(II)设实数k使得f(x)< kx恒成立，求k的范围；

(III)设函数，求函数h(x)在区间上的零点个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析。

【解析】分析：（I）根据导数的几何意义求解即可．（II）分离参数，转化为恒成立求解．令，可求得函数的最大值为，进而可得结论．（III）由分离参数可得，借助（II）中的结论并结合函数的图象根据数形结合的方法可得函数零点的个数．

详解：（I）∵，

∴，

∴，

∴所求切线方程为，

即．

（II）由题意得恒成立等价于对恒成立．

令，则，

当时，单调递增；当时，单调递减，

∴当时，有最大值，且最大值为，

∴．

∴实数k的范围是．

（III）由，即，

得，

∴函数h(x)在区间上的零点个数即为函数的图象与函数的图象在上的公共点的个数．

由（II）得函数在上单调递增，在上单调递减，且的最大值为，

又，．

∴当或者时，函数有0个零点；

当或者时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点．