Question

（本小题满分14分）
如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别
为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将
△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、
C两点重合于点P得一个三棱锥如图②示.              
（1）求证：;
（2）求三棱锥的体积；                
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值.                                                        

Answer 1

（1）证明：见解析；
(2) ．
(3)     

本试题主要考察了线面角的求解，以及垂体的体积的运用，和线线垂直的证明的综合运用。
（1）依题意知图①折前,∴,
∵   ∴平面又∵平面，利用线面垂直的性质定理得到结论。
（2）三棱锥的体积可以利用转换顶点的思想来求解得到。
（3）根据由（2）知 又    ∴平面
∴为DE与平面PDF所成的角，然后借助于三角形得到求解。
（1）证明：依题意知图①折前,∴,
∵   ∴平面又∵平面      
∴
(2)解法1：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,
在中，
∴
∴．

【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF= ∴PE= PF=，
在△BEF中,
取EF的中点M，连结PM
则,∴
∴
∴．
(3) 由（2）知 又    ∴平面
∴为DE与平面PDF所成的角，
在中，∵, 
∴