题目内容
【题目】已知函数
（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）构造函数
，对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值，证明函数的最大值小于0即可.
（1）解：
．
①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，
解得
；
由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得
．
故函数f（x）的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（，＋∞）．
②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或
；
由f'（x）＞0，得
．
故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（
，＋∞），单调递增区间为
．
（2）证明：构造函数，
则
．
因为Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，
所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．
故g（x）在区间[1，＋∞）上是减函数．
又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．
故对任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．
【题目】某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
| 0 |
|
|
|
|
|
|
| |||
| 0 | 2 | 0 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数
的解析式;
(2)把
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象,求
的值.
【题目】假设关于某种设备的使用年限
(年)与所支出的维修费用
(万元)有如下统计：
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
已知
， 
. 
， 
(1)求
， 
；
(2)与具有线性相关关系，求出线性回归方程；
(3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
