题目内容

【题目】国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”，为响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，，分别在边，上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的作为健身场所．则的面积为的最大值为____________（单位：）．

【答案】

【解析】

以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得，设边缘线所在的抛物线为，代入C点坐标可求抛物线为。EF为抛物线的切线，设，由导数知识可求直线EF方程为，从而可求E、F的坐标，于是可列的面积为，且，利用导数知识求函数最大值即可。

以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得。设边缘线所在的抛物线为，把代入得，

所以抛物线为。

设点，因为，

所以过点P的切线EF的方程为，

令，得；令得

所以的面积为，

即，

而=；

由得，，

所以在上是增函数，在上是减函数，

所以S在上有最大值。

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