已知△ABC的三个内角A.B.C的对边分别是a.b.c.若向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．(Ⅰ)求角A的大小,=tanAsinωxcosωx-cosAcos2ωx.已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$.现将y=f(x)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量$\overrightarrow{m}$=（a+c，sinB），$\overrightarrow{n}$=（b-c，sinA-sinC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx-cosAcos2ωx（ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，现将y=f（x）的图象上各点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．

分析（Ⅰ）利用两个向量共线的性质求得 b²+c²-a²=bc，再利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，π]上的值域．

解答解：（Ⅰ）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
若向量$\overrightarrow{m}$=（a+c，sinB），$\overrightarrow{n}$=（b-c，sinA-sinC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
则（a+c）•（sinA-sinC）-sinB（b-c）=0，即（a+c）•（a-c）=b（b-c），
即 b²+c²-a²=bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx-cosAcos2ωx（ω＞0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，
现将y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象上各点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，
可得 y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，
得到函数y=g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
在[0，π]上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即g（x）在[0，π]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．