Question

6．一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1 个白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）设黑球的个数为x，则白球的个数为10-x，利用对立事件的概率值列方程求出x的值；
（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）设黑球的个数为x，则白球的个数为10-x，
记两个都是黑球得的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件；
所以p（A）=1-$\frac{7}{9}$=$\frac{{C}_{x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$，
化简得x²-x-20=0，
解得x=5或x=-4（不合题意，舍去），
所以白球的个数为5；
（2）由题意，随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{•C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{•C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$；
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

数学期望为E（X）=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．