题目内容
已知实数x，y∈（0，
），且tanx=3tany，则x-y的最大值是
．
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
分析：先用两角差的正切公式和条件，求出tan（x-y）的表达式，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x-y）的最大值，再已知的条件求出x-y的范围从而得到结果．
解答：解：∵x，y∈（0，
），∴tanx=3tany＞0，
∴tan（x-y）=
=
=
，
∵
+3tany≥2
，当且仅当
=3tany时取等号，即tany=
，
∴tan（x-y）=
≤
，即tan（x-y）的最大值为
，
∵x，y∈（0，
），∴-
＜x-y＜
，则x-y最大值为
，
故答案为：
．
| π |
| 2 |
∴tan（x-y）=
| tanx-tany |
| 1+tanx•tany |
| 2tany |
| 1+3tan2y |
| 2 | ||
|
∵
| 1 |
| tany |
| 3 |
| 1 |
| tany |
| ||
| 3 |
∴tan（x-y）=
| 2 | ||
|
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵x，y∈（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
故答案为：
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查两角和与差的正切函数，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力，属于中档题．
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