Question

设x，y为实数，满足3≤xy²≤8，4≤

x2

y

≤9，则

x2

y4

的最大值是

9

．

Answer 1

分析：先用待定系数法，可得

x2

y4

=(xy2)-

6

5

(

x2

y

)

8

5

，再利用不等式的性质，求得4

8

5

≤ (

x2

y

)

8

5

≤9

8

5

，8-

6

5

≤(xy2)-

6

5

 ≤3-

6

5

两式相乘，即可得到结论．

解答：解：设

x2

y4

=(xy2)m(

x2

y

)n，∴

m+2n=2 n-2m=4

，∴

m=- 6 5 n= 8 5

∴

x2

y4

=(xy2)-

6

5

(

x2

y

)

8

5

∵4≤

x2

y

≤9，∴4

8

5

≤ (

x2

y

)

8

5

≤9

8

5

①．
又∵3≤xy²≤8，∴8-

6

5

≤(xy2)-

6

5

 ≤3-

6

5

②，
①×②可得：4

8

5

×8-

6

5

≤  (xy2)-

6

5

(

x2

y

)

8

5

≤9

8

5

×3-

6

5

．
∴2-

2

5

≤

x2

y4

≤ 9，当且仅当

x2

y

=9，且xy²=3，
即x=3，y=1时，

x2

y4

的最大值是9．
故答案为：9．

点评：本题考查不等式的性质，考查求最大值，解题的关键是正确运用不等式的性质．