Question

在△ABC中，设．
（I）若，求角B及实数p的值；
（II）求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）若，利用两角差的正弦公式展开化简可得tanB=，B=，又 C=，故三角形为正三角形，
可得p=2．
（II）解法一：由 ，利用余弦定理可得ab=（p²-1）．故a、b是方程
x²-cpx+（p²-1）=0的两个根，可得△≥0，由此解得实数p的取值范围．
解法二：由 p=利用正弦定理可得 p=，化简为 2sin（A+），再由0＜A＜，可得
＜sin（A+）≤1，由此求得实数p的取值范围．
解答：解：（I）若，C=，则有sin（-B）=cosB，
利用两角差的正弦公式展开化简可得sinB=cosB，
∴tanB=，B=，又 C=，故三角形为正三角形，故p=2．
（II）解法一：∵，由余弦定理可得 c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，∴ab=c²（p²-1）．
故ab是方程 x²-cpx+c²（p²-1）=0的两个根，∴△=（cp）²-4•（p²-1）≥0，解得 p²≤4．
再由 p=＞=1，故实数p的取值范围是（1，2]．
解法二：由 p=利用正弦定理可得 p==[sinA+sin（-A）]
=（sinA+cosA）=2（sinA+cosA）=2sin（A+）．
由于 0＜A＜，∴＜sin（A+）≤1，∴1＜p≤2，即实数p的取值范围是（1，2]．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．