题目内容
在△ABC中，设
•
=
•
，
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若|
+
|=2，且B∈[
，
]，求
•
的取值范围．
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若|
| BA |
| BC |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| BA |
| BC |
分析：（1）由
•
=
•
，知
•(
-
)=0，由
+
+
=
，知
=-(
+
)，所以
2-
2 =
，由此能够证明△ABC为等腰三角形．
（2）由B∈[
，
]，知cosB∈[-
，
]，设|
| =|
| =a，由|
+
| =2，知a2+a2+2a2cosB=4，所以a2=
，由此能够求出
•
的取值范围．
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
| CA |
| BC |
| AB |
| AB |
| BC |
| CA |
| 0 |
| CA |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| 0 |
（2）由B∈[
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| BC |
| BA |
| BC |
| 2 |
| 1+cosB |
| BA |
| BC |
解答：解：（1）∵
•
=
•
，
∴
•(
-
)=0，
∵
+
+
=
，（3分）
∴
=-(
+
)，
∴-(
+
)•(
-
)=
，
∴
2-
2 =
，
所以|
|2=|
|2，
即|AB|=|BC|，
故△ABC为等腰三角形．（6分）
（2）∵B∈[
，
]，
∴cosB∈[-
，
]，
设|
| =|
| =a，
∵|
+
| =2，
∴|
+
|2=4，（9分）
∴a2+a2+2a2cosB=4，
∴a2=
，
∴
•
=|
| •|
| cosB=a2，
cosB=
=2-
∈[-2，
]（12分）
| BC |
| CA |
| CA |
| AB |
∴
| CA |
| BC |
| AB |
∵
| AB |
| BC |
| CA |
| 0 |
∴
| CA |
| AB |
| BC |
∴-(
| AB |
| BC |
| BC |
| AB |
| 0 |
∴
| AB |
| BC |
| 0 |
所以|
| AB |
| BC |
即|AB|=|BC|，
故△ABC为等腰三角形．（6分）
（2）∵B∈[
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴cosB∈[-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设|
| AB |
| BC |
∵|
| BA |
| BC |
∴|
| BA |
| BC |
∴a2+a2+2a2cosB=4，
∴a2=
| 2 |
| 1+cosB |
∴
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
cosB=
| 2cosB |
| 1+cosB |
| 2 |
| 1+cosB |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的综合运用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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如图，在△ABC中，设BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：a2=b2+c2-2bccosA．