Question

过圆x²+y²=4内点M(1，

2

)作圆的两条互相垂直的弦AB和CD，则AB+CD的最大值为

2

10

．

Answer 1

分析：由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

解答：解：当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（

2

+

3

）
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为y-

2

=k（x-1），
直线BD的方程为y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦长公式l=2

r2-d2

可得：AC=2

3k2+2 2 k+2 k2+1

BD=2

2k2-2 2 k+3 k2+1

∵AC²+BD²=4（

3k2+2 2 k+2

k2+1

+

2k2-2 2 k+3

k2+1

）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2

10

即AC+BD的最大值为2

10

．
故答案为：2

10

点评：本题考查仔细与圆的位置关系，直线方程的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力．