Question

过圆x²+y²=4内点作圆的两条互相垂直的弦AB和CD，则AB+CD的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．
解答：解：当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）
当AC的斜率存在且不为0时，
设直线AC的方程为y-=k（x-1），
直线BD的方程为y-=-（x-1），
由弦长公式l=2
可得：AC=2
BD=2
∵AC²+BD²=4（）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2
即AC+BD的最大值为2．
故答案为：2
点评：本题考查仔细与圆的位置关系，直线方程的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力．