Question

过圆x²+y²=4内一点P（1，1）作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC=BD时，四边形ABCD的面积为

6

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，利用垂径定理得到E、F分别为AC、BD的中点，由AC=BD得到弦心距OE=OF，可得出四边形PEOF为正方形，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得到OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC与BD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ABCD的面积．

解答：解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，
∴E为AC的中点，F为BD的中点，
又AC⊥BD，AC=BD，
∴四边形EPOF为正方形，
由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=2，
又P（1，1），∴|OP|=

12+12

=

2

，
∴OE=

2

×

2

2

=1，又OA=r=2，
∴根据勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=

3

，
∴AC=BD=2AE=2

3

，
则S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD=6．
故答案为：6

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．