Question

【题目】已知曲线 在 的上方，且曲线 上的任意一点到点 的距离比到直线 的距离都小1.
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设 ，过点 的直线与曲线 相交于 两点.
①若 是等边三角形，求实数 的值；
②若 ，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点 曲线 上任意一点，由题设有 ，

于是 ，整理得 .

由于曲线 在 轴的上方，所以 .

所以曲线 的方程为 .

（Ⅱ）设 .

由题意 ，即 ，

于是 ，

将 代入，得 ，由 ，得 .

从而 x1=-x2，

所以 .

因为 是等边三角形，所以 .

将 代入， ，解得 ，此时 .

设直线 ，

联立 得 ， ，

.

，

于是

因为 ，即 .

因 ，从而 .

解得 ..

【解析】(1)根据题意设出点P的坐标由抛物线的定义可得出等式求出曲线的方程即可。(2)由已知分别设出A、B两点的坐标利用已知 | A F | = | B F | ，把两点分别代入到抛物线的方程整理即到x1=-x2,借助三角形是等边三角形求出m的值，然后设出直线的方程联立直线与抛物线的方程由韦达定理分别求出x1+x2、x1x2关于m的代数式，进而可用坐标表示出，令其小于零解出m的取值范围即可。