Question

过点（4，1），且与两条坐标轴正半轴所围成的三角形面积最小的直线L的方程为（　　）

A．x+4y-8=0

B．x+y-5=0

C．4x+y-8=0

D．x+2y-4=0

Answer 1

分析：设直线方程的截距式：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），根据点（4，1）在直线上并利用基本不等式，算出ab≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立．由此可得三角形面积的最小值，进而得到相恋的直线L的方程．

解答：解：设直线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
∵点（4，1）在直线上，∴

4

a

+

1

b

=1
利用基本不等式，得

4

a

+

1

b

≥2

4 a • 1 b

=

16 ab

∴

16 ab

≤1，解之得ab≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立
∵直线与与两条坐标轴正半轴所围成的三角形面积S=

1

2

ab
∴当且仅当a=8，b=2时，三角形面积S有最小值8
此时的直线方程为

x

8

+

y

2

=1，化简得x+4y-8=0
故选：A

点评：本题给出直线经过定点，求直线在两条坐标轴上截得三角形面积的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．