Question

已知a∈（0，π），且sina+cosa=

1

2

，则cos2a的值为

 

．

Answer 1

分析：把已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值，然后在把已知的等式提取

2

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦的值，判断得到α的范围，进而得到2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系由sin2α的值和2α的范围即可求出cos2a的值．

解答：解：把sina+cosa=

1

2

，两边平方得：1+2sinαcosα=

1

4

，
即1+sin2α=

1

4

，解得sin2α=-

3

4

，
又sina+cosa=

2

sin（α+

π

4

）=

1

2

，解得：sin（α+

π

4

）=

2

4

＜

1

2

，
得到：0＜α+

π

4

＜

π

6

（舍去）或

5π

6

＜α+

π

4

＜π，
解得：

7π

12

＜α＜

3π

4

，所以2α∈（

7π

6

，

3π

2

），
则cos2α=-

1-( - 3 4 )2

=-

7

4

．
故答案为：-

7

4

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．求出2α的范围确定出cos2α的正负是解题的关键．