Question

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）利用换元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，（t∈R），从而可得函数f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定义域为R，可求函数的定义域，先证奇偶性：代入f（-x）=

1

a2-1

(

1

ax

-ax)=-f(x)，从而可得函数为奇函数
（3）再证单调性：利用定义任取x₁＜x₂，利用作差比较f（x₁）-f（x₂）的正负，从而确当f（x₁）与f（x₂）的大小，进而判断函数的单调性

解答：解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，4分）
所以f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
（3）任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（ax2-ax1）（1+a-(x1+x2)）（11分）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a-(x1+x2)＞0
①当a＞1时，a²-1＞0，ax2-ax1＞0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②当0＜a＜1时，a²-1＜0．，ax2-ax1＜0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）

点评：本题重点考查了函数性质的三点：①利用换元法求函数的解析式，这是求函数解析式中最为重要的方法，要注意掌握，解答此类问题的注意点：换元后要确定新元的范围，从而可得所要求的函数的定义域②函数奇偶性的判断，解题的关键是利用奇偶性的定义③利用定义判断函数单调性的步骤（i）任设x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定号，给出结论．