题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在X轴上，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，△MF1F2的面积为4，过F1的直线与椭圆交于A,B两点，△ABF2的周长为.

(Ⅰ)求此椭圆的方程；

(Ⅱ）若N是左标平面内一动点，G是△MF1F2的重心，且，求动点N的轨迹方程；

（Ⅲ）点p审此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（Ⅱ）中所求得轨迹的两条不同的切线，、R是两个切点，求的最小值.

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为，因为是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于两点，的面积为，的周长为

所以

所以，所求的椭圆方程为                   ……………………4分

（Ⅱ）设，则由（Ⅰ）得所以，

从而 ．因为, 

所以有,

由于是的重心，即应当是一个三角形的三个顶点，

因此所求动点的轨迹方程为.          ………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知动点的轨迹方程为，即．

显然此轨迹是以点）为圆心，半径的圆除去两点剩余部分的部分曲线．

设，则根据平面几何知识得.

,                                                     …………………………10分

从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

当且仅当时，取“”   （※） …………………………12分

由点在椭圆上（非短轴端点），并且在圆外，可知

由于，所以条件（※）的要求满足．

因此的最小值为                 …………………………13分

练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3
2
，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是
 
．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为6
3
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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