Question

11．如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC．四边形BB₁C₁C为正方形，设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁=E．求证
（1）DE∥平面AA₁C₁C
（2）BC₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）由正方形性质得E为B₁C的中点，从而DE∥AC，由此能证明DE∥平面AA₁C₁C．
（2）由线面垂直得AC⊥CC₁，由AC⊥BC，得AC⊥平面BCC₁B₁，由此能证明BC₁⊥平面AB₁C．

解答 证明：（1）因为四边形BB₁C₁C为正方形，B₁C∩BC₁=E，所以E为B₁C的中点，
又D为AB₁的中点，因此DE∥AC．
又因为DE?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，
所以DE∥平面AA₁C₁C．
（2）因为棱柱ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，AA₁⊥底面ABC
所以CC₁⊥平面 ABC．因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC₁．
又因为AC⊥BC，CC₁?平面 BCC₁ B₁，BC?平面BCC₁B₁，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．又因为BC₁?平面BCC₁B₁，所以B₁C⊥AC．
因为BC=CC₁，所以矩形BCC₁B₁是正方形，因此BC₁⊥B₁C．
因为AC，B₁C?平面B₁AC，AC∩B₁C=C，所以BC₁⊥平面AB₁C．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．