Question

20．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．且bsinAcosC+csinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{7}$a²，△ABC的面积S=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
（1）求abc的值；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，求b、c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合三角形的面积公式即可求abc的值；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，结合三角形的余弦定理建立方程关系即可求b、c的值．

解答 解：由正弦定理得sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{7}$sinAa，
则sinBcosC+sinCcosB=$\frac{\sqrt{3}}{7}$a，
即sin（B+C）=$\frac{\sqrt{3}}{7}$a，
即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{7}$a，
∵△ABC的面积S=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴S=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{7}$a=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
则abc=35．
（2）若A=$\frac{π}{3}$，则sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{7}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则a=$\frac{7}{2}$，bc=10，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即（$\frac{7}{2}$）²=（b+c）²-20-2×10×$\frac{1}{2}$，
即$\frac{49}{4}$=（b+c）²-30，
即（b+c）²=30+$\frac{49}{4}$=$\frac{169}{4}$，
则b+c=$\frac{13}{2}$，解得b=$\frac{5}{2}$，c=$\frac{8}{2}$或c=$\frac{5}{2}$，b=$\frac{8}{2}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．