Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0，结合a_n=S_n-S_n-1，可得-为定值，进而得到数列{}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）可得数列{}的通项公式，进而得到S_n的通项公式，再由a_n与S_n的关系，得到数列{a_n}的通项公式
（III）由已知中S_n的通项公式，可得数列{b_n}的通项公式，进而利用裂项相消法得到答案．
解答：证明：（I）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，且S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
∴S_n[S_n-（S_n-S_n-1）]+2（S_n-S_n-1）=0
即S_n•S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0
即-=
又∵S₁=a₁=1，故数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列
（II）由（I）得：=
∴S_n=
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=
∵n=1时，无意义
故a_n=
（III）∵==2（-）
∴T_n=2（1-+-+…+-）=2（1-）=
点评：本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列求和，是数列问题的综合应用，熟练掌握a_n与S_n的关系是解答本题的关键．