Question

【题目】如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；

（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角．

（3）过点A作直线l分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M、N，求|MN|的最大长度．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（），（）（3）最大长度为8

【解析】

（1）求出半圆的圆心和半径，求得圆与x轴的交点，即有a＝2，令y＝2，解得交点，代入双曲线方程，解得b，进而得到双曲线的方程；

（2）求出焦点坐标，∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则由x2+y2＝8，联立两半圆的方程及双曲线方程，解得交点，注意检验，即可得到所求的P的坐标．

（3）讨论斜率是否存在，求出|MN|，即可得出结论．

（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，则圆心为（0，2），半径为2．

则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．

双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a＝2，

由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y＝2，解得，x＝±2．

即有交点为（±2，2）．

设双曲线的方程为1（a＞0，b＞0），

则1，且a＝2，解得，b＝2．

则双曲线的方程为1；

（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），

若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2＝8，

由解得，x2＝6，y2＝2．故P的坐标为（），（）．

由解得，y＝-1，不满足题意，舍去．

由解得，y＝1，不满足题意，舍去．

故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（）．

（3）设M，N的横坐标分别为xM，xN．

①直线l的斜率不存在时，|MN|＝8；

②直线l的斜率存在时，设方程为y＝k（x+2）（或 ），

代入x2+y2﹣4y﹣4＝0，可得（k2+1）x2+（4k2﹣4k）x+4k2﹣8k﹣4＝0，

∴﹣2xM，

∴xM，

同理xN，

∴|MN||xM﹣xN|，

综上：|MN|的最大长度为8．