Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）；
（1）证明：数列{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

2n+1

3n+1-an

，求数列{b_n}的前n项和为S_n；
（3）令cn=

an

an+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），围绕数列{a_n+2ⁿ⁺¹}，可进行构造，从而得证；
（2）利用bn=

2n+1

3n+1-an

，表示出数列{b_n}的前n项和为S_n，再采用错位相减法求和；
（3）先根据cn=

an

an+1

，表示出c_n，进而利用放缩法求前n项和为T_n，从而可证．

解答：证明：（1）∵a_n+1=3a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
∴a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），
∵a₁+2•2¹=9
∴{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比数列，公比为3
∴a_n+2ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹
（2）bn=

2n+1

3n+1-an

=

2n+1

2n+1

=(2n+1)•(

1

2

)n+1
Sn=3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n+1)•(

1

2

)n+1

1

2

Sn=3•(

1

2

)3+5•(

1

2

)4+…+(2n+1)•(

1

2

)n+2
∴

1

2

Sn=3•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+2•(

1

2

)n+1-(2n+1)•(

1

2

)n+2

1

2

Sn=(

1

2

)2+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1]-(2n+1)•(

1

2

)n+2=

1

4

+[1-(

1

2

)n]-(2n+1)(

1

2

)n+2=

5

4

-

2n+5

2n+2

∴Sn=

5

2

-

2n+5

2n+1

…（9分）
（3）cn=

an

an+1

=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

先证明cn＜

1

3

，即证明

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＜

1

3

，即证明

1

3

•(

2

3

)n+1＞0，显然成立
∴Tn＜

n

3

又cn=

1-( 2 3 )n+1

3-2( 2 3 )n+1

＞

1

3

[1-(

2

3

)n+1]
∴Tn＞

1

3

(n-

4

3

) =

3n-4

9

∴

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

．

点评：本题的考点是数列与不等式的综合．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、问题转化的思想以及恒成立的思想．值得同学们体会和反思