Question

已知方程tan²x一tan x+1=0在x[0，n)( nN*)内所有根的和记为a_n
(1)写出a_n的表达式；(不要求严格的证明)
(2)记S_n = a₁ + a₂ +…+ a_n求S_n；
(3)设b_n =(kn一5) ，若对任何nN* 都有a_nb_n，求实数k的取值范围．

Answer 1

(1) =(n²一) (2)  (3) k4

试题分析：解:( 1)解方程得tanx=或,当n=1时,x=或,此时=,
当n=2时,x=,,+,+,∴=+(+2)
依次类推:=+(+2)+…+[+2(n一1) ],
∴=(n²一)
(2) =(1² +2² +…+n² ) 一 (1+2+…+n)
=
=
(3)由得(n2—) (kn一5) ,
∴knn²一+5 ∵n∈N*,∴kn+一,
设= n+一,
易证在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增
∵n∈N*,=4,=4∴n=2,_min =4,
∴k4
点评：解决的关键是利用数列的累加法来求解其通项公式，同时能利用分组求和来得到和式，属于基础题。