Question

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂＝，且△PF₁F₂的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

Answer 1

解：设双曲线方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，

F₁(－c,0)，F₂(c,0)，P(x₀，y₀)．

在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：

|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cos

＝(|PF₁|－|PF₂|)²＋|PF₁|·|PF₂|，

即4c²＝4a²＋|PF₁|·|PF₂|，

又∵S△PF₁F₂＝2，

∴|PF₁|·|PF₂|·sin ＝2，

∴|PF₁|·|PF₂|＝8.

∴4c²＝4a²＋8，即b²＝2.

又∵e＝＝2，∴a²＝，

∴双曲线的方程为：－＝1.