Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．

Answer 1

解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c²＝a²＋b²得b²＝1，

所以双曲线C的方程为－y²＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y²＝1中，

整理得(1－3k²)x²－6kx－9＝0，

由题意得，

故k²≠且k²＜1.①

设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，则

x_Ax_B＋y_Ay_B＝x_Ax_B＋(kx_A＋)(kx_B＋)＝(k²＋1)x_Ax_B＋k(x_A＋x_B)＋2＝(k²＋1)·，    解得＜k²＜3.②

由①②得＜k²＜1，

所以k的取值范围为