Question

【题目】已知函数， ．

（1）若函数有三个不同的极值点，求的值；

（2）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的取值范围是；（Ⅱ）正整数的最大值为5．

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导函数， 有3个极值点等价于方程有3个根；令，根据的单调性可知有3个零点，则，解出的取值范围即可；（Ⅱ）不等式，即，分离参数得．

转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立；构造新函数，确定单调性，计算相应函数值的正负，即可求正整数的最大值．

试题解析：（Ⅰ）

∵有3个极值点，∴有3个根

令

在上递增， 上递减．

∴有3个零点，∴，∴

（Ⅱ）不等式，即，即．

转化为存在实数，使对任意的，

不等式恒成立．

即不等式在上恒成立．

即不等式在上恒成立

设，则．

设，则，因为，有．

故在区间上是减函数；

又

故存在，使得．

当时，有，当时，有．

从而在区间上递增，在区间上递减

又，

．

所以当时，恒有；当时，恒有；

故使命题成立的正整数的最大值为5.