Question

【题目】已知函数有两个不同的零点.

（1）求的取值范围；

（2）记两个零点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点,对进行求导，通过单调性画出的草图，由与有两个交点进而得出的取值范围; （Ⅱ）分离参数得： ,从而可得恒成立；再令,从而可得不等式在上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．

试题解析：（I）依题意，函数的定义域为，

所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点.

又，即当时， ；当时， ,

所以在上单调递增，在上单调递减.

从而.

又有且只有一个零点是1，且在时， ，在时， ，

所以的草图如下：

可见，要想函数与函数在图像上有两个不同交点，只需.

（Ⅱ）由（I）可知分别为方程的两个根，即， ，

所以原式等价于.

因为， ，所以原式等价于.

又由， 作差得， ，即.

所以原式等价于.

因为，原式恒成立，即恒成立.

令，则不等式在上恒成立.

令，则，

当时，可见时， ，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；

当时，可见当时， ；当时， ，

所以在时单调递增，在时单调递减.

又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.

综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.