Question

【题目】已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．
（1）求∠BAE 的度数；
（2）求证：

Answer 1

【答案】
（1）解：在△EAB与△ECA中，∵AE为圆O的切线，

∴∠EBA =∠EAC

又∠E公用，∴∠EAB =∠ECA

∵△ACD为等边三角形，

∴

（2）证明：∵AE为圆O的切线，

∴∠ABD=∠CAE

∵△ACD为等边三角形，

∴∠ADC =∠ACD，

∴∠ADB=∠ECA，

∴△ABD∽△EAC

∴ ，即

∵△ACD为等边三角形，

∴AD=AC=CD，

∴

【解析】分析：本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是（1）在△EAB与△ECA中，因为AE为圆O的切线，所以∠EBA =∠EAC，∠EAB =∠ECA，因为△ACD为等边三角形，所以 ；（2）容易证明△ABD∽△EAC ，所以 ，即 ，因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，所以