Question

【题目】已知函数，函数与直线相切，其中，，是自然对数的底数．

（1）求实数的值；

（2）设函数在区间内有两个极值点．

①求的取值范围；

②设函数的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2（2）①②

【解析】

设切点，利用导数的几何意义即可得到；

令， 则，

设，根据在区间内有两个不等实根，列出不等式求解即可.

由，得由，解得，且代入，换元设，，求出的单调性即可得到M的范围．

（1）设直线与函数相切与点，

函数在点处的切线方程为：, ,

把，代入上式得，．

所以，实数的值为2．

（2）①由（1）知,

设函数在区间内有两个极值点，，

令，

则，设

因为，故只需，所以，．

②因为，

所以

．

由，得，且．

．

设，，令，

，

在上单调递减，从而，

所以，实数的取值范围是．