Question

函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3．
（1）求此函数解析式；
（2）写出该函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；
（2）令 2kπ-≤x+≤2kπ+，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；
（3）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析和的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．
解答：解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3．
∴A=[3-（-3）]=3，=5π，
∴T=10π=，
∴ω==，
∵当x=π时，y有最大值3，
∴π+ϕ=，
∴ϕ=，
∴y=3sin（x+），
（2）令 2kπ-≤x+≤2kπ+得10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z
∴函数的单调递增区间为：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}；
（3）∵ω=，ϕ=，
∴ω+ϕ=+∈（0，），
ω+ϕ=+∈（0，），
而y=sint在（0，）上是增函数
∴+＞+，
∴＞
∴，
∴解得：．
∴m的取值范围是．
点评：本题考查根据y=Asin（ωx+φ）的图象求函数的解析式以及求函数的单调区间，问题（3）的设置，增加了题目的难度和新意，易错点在于对∈（0，），∈（0，）的分析与应用，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，体现了转化的数学思想方法，属于难题．